=（2cos2a—1）cosa—2（1—sin2a）cosa

=4cos3a—3cosa

sin3a=3sina—4sin3a

=4sina（3/4—sin2a）

=4sina[（√3/2）2—sin2a]

=4sina（sin260°—sin2a）

=4sina（sin60°+sina）（sin60°—sina）

=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°—a）/2]*2sin[（60°—a）/2]cos[（60°—a）/2]

=4sinasin（60°+a）sin（60°—a）

cos3a=4cos3a—3cosa

=4cosa（cos2a—3/4）

=4cosa[cos2a—（√3/2）2]

=4cosa（cos2a—cos230°）

=4cosa（cosa+cos30°）（cosa—cos30°）

=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a—30°）/2]*{—2sin[（a+30°）/2]sin[（a—30°）/2]}

=—4cosasin（a+30°）sin（a—30°）

=—4cosasin[90°—（60°—a）]sin[—90°+（60°+a）]

=—4cosacos（60°—a）[—cos（60°+a）]

=4cosacos（60°—a）cos（60°+a）

上述两式相比可得

tan3a=tanatan（60°—a）tan（60°+a）

半角公式

tan（A/2）=（1—cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）；

cot（A/2）=sinA/（1—cosA）=（1+cosA）/sinA

sin^2（a/2）=（1—cos（a））/2

cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2

tan（a/2）=（1—cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））三角和

sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ—sinα·sinβ·sinγ

cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ—cosα·sinβ·sinγ—sinα·cosβ·sinγ—sinα·sinβ·cosγ

tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ—tanα·tanβ·tanγ）/（1—tanα·tanβ—tanβ·tanγ—tanγ·tanα）

两角和差

cos（α+β）=cosα·cosβ—sinα·sinβ

cos（α—β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1—tanα·tanβ）

tan（α—β）=（tanα—tanβ）/（1+tanα·tanβ）

和差化积

sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ—φ）/2]

sinθ—sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ—φ）/2]

cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ—φ）/2]