令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，

则f（x）≤f（2）=80，

∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．

故答案为：4cm3．

解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，

∴FG=SG=5﹣，

SO=h===，

∴三棱锥的体积V=

==，

令b（x）=5x4﹣，则，

令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，

∴（cm3）．

故答案为：4cm3．

【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．

【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，

（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．

【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，

∴3csinBsinA=2a，

由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，

∵sinA≠0，

∴sinBsinC=；

（2）∵6cosBcosC=1，

∴cosBcosC=，

∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，

∴cos（B+C）=﹣，

∴cosA=，

∵0＜A＜π，

∴A=，

∵===2R==2，

∴sinBsinC=•===，

∴bc=8，

∵a2=b2+c2﹣2bccosA，