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【解答】解：（1）设双曲线方程为
，由
，
同向，
∴渐近线的倾斜角范围为（0，
），
∴渐近线斜率为：
，∴
．
∵|
|、|
|、|
|成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，
∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，
∴
，
∴
，
可得：
，而在直角三角形OAB中，
注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=
，
而由对称性可知：OA的斜率为k=tan
，
∴
，∴2k2+3k﹣2=0，∴
；
∴
，∴
，∴
．
（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为
﹣
=1，∴c=
b．
由于AB的倾斜角为
+
∠AOB，故AB的斜率为tan（
+
∠AOB ）=﹣cot（
∠AOB）=﹣2，
∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣
b），代入双曲线方程得：15x2﹣32
bx+84b2=0，
∴x1+x2=
，x1•x2=
，
∴4=
•
=
•
，即16=
﹣112b2，
∴b2=9，所求双曲线方程为：
﹣
=1．
【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据
，联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值，属于中档题．
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