【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

【必做题】

25．（2017•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．

（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．

【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1 的坐标，进一步求出，，，的坐标．

（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．

【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，

∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，

∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，

以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，

∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），

D（0，2，0），

A1（0，0，），C1（）．

=（），=（），，．

（1）∵cos＜＞==．

∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；

（2）设平面BA1D的一个法向量为，

由，得，取x=，得；

取平面A1AD的一个法向量为．

∴cos＜＞==．

∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．

【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．

26．（2017•江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．

123…m+n

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．

【分析】（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．

（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．

【解答】解：（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，

则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）

=

==．

证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，

P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，

∴E（X）=（）=